Se seu serviço de hospedagem não tem servidor de emails (ou se o servidor de emails vive caindo, ou se é impossível de configurar, etc.) você pode enviar os emails do wordpress através de uma conexão smtp com outro servidor com o plugin WP Mail SMTP.

Para usar este plugin e o servidor SMTP do gmail, por exemplo, aqui vão as configurações necessárias:

  1. No seu painel vá até “Configurações -> Email”;
  2. Preencha os campos da seguinte forma:
    • From Email: coloque o endereço de email do remetente
    • From Name: coloque o nome do remetente
    • Mailer: Marque “Send all WordPress emails via SMTP”
    • Return Path: Marque “Set the return-path to match the From Email”
    • SMTP Host: smtp.gmail.com
    • SMTP Port: 465
    • Encryption: Marque “Use SSL encryption”.
    • Authentication: Marque “Yes: Use SMTP authentication”.
    • Username: coloque o seu endereço do gmail (com o @gmail.com)
    • Password: coloque a sua senha do gmail
  3. Salve as suas configurações e só depois de salvar faça um teste.

Atualização: aparentemente o Google tem bloqueado por padrão tentativas menos seguras de acesso. Para que a configuração acima possa funcionar é necessário ir até a Configuração de aplicativos menos seguros e ativar esse tipo de acesso.